Tobias Glosauer's (Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die PDF

By Tobias Glosauer

ISBN-10: 3658058641

ISBN-13: 9783658058647

ISBN-10: 365805865X

ISBN-13: 9783658058654

Dieses Buch dient als Brücke zwischen Schul- und Hochschulmathematik. Zum einen hilft es Schülerinnen und Schülern sowie Studienanfängern, grundlegende Rechenfertigkeiten zu erwerben, die guy bei jedem naturwissenschaftlich-technischen Studiengang beherrschen muss, wie z.B. (Un)Gleichungen lösen, Grenzwerte bestimmen oder Integrale knacken. Hat guy sich diese Fertigkeiten bereits vor Studienbeginn angeeignet, so ist der Sprung ins kalte Uni-Wasser deutlich weniger erschreckend. Andererseits eröffnet dieser textual content auch freundlich geschriebene Einblicke in die Schönheit der reinen Mathematik: Wir lernen logisch zu argumentieren und Beweise zu führen, erfreuen uns am Körper der komplexen Zahlen, beginnen uns in Vektorräumen wohl zu fühlen und machen erste rigorose Bekanntschaften mit dem Unendlichen. Aufgrund der vielen Beispiele zusammen mit den zahlreichen Aufgaben inklusive ausführlichen Lösungen eignet sich dieses Buch sowohl zum Selbststudium wie auch als Unterrichtstext für Lehrerinnen und Lehrer, die hier viel nützliches fabric zur Vertiefung des Unterrichts finden.

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Im ersten Fall (x ∈ A) folgt wegen A ⊆ A ∪ B auch x ∈ A ∪ B. Ebenso folgt aus A ⊆ A ∪ C, dass x ∈ A ∪ C. Also ist insgesamt x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Im zweiten Fall (x ∈ B ∩ C) gilt x ∈ B und x ∈ C. Da B ⊆ A ∪ B und C ⊆ A ∪ C gilt, folgt wieder x ∈ A ∪ B und x ∈ A ∪ C, also zusammen x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). In beiden F¨ allen folgt also aus x ∈ A ∪ (B ∩ C), dass x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) und somit auf Mengenebene die Beziehung A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 1 Mengen ” ⊇“ Wir zeigen (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C).

6 a) Betrachte die Quadratfunktion q : A = R → B = R, x → x2 . Anhand von q sieht man leicht ein: ◦ Zwei verschiedene Elemente von A k¨onnen dasselbe Bild haben. : Das Urbild eines Elements aus B muss nicht eindeutig sein. B. ist x1 = 1 = −1 = x2 , aber q(x1 ) = 1 = (−1)2 = q(x2 ). Anders ausgedr¨ uckt besitzt die Zahl 1 ∈ B die beiden Urbilder x1 = 1 und x2 = −1, da beide unter q auf 1 abgebildet werden. ◦ Nicht f¨ ur jedes Element aus B muss ein Urbild existieren. Denn f¨ ur −1 ∈ B findet man kein x ∈ A = R mit q(x) = x2 = −1.

Also multiplizieren wir die (IV) mit (1 + x) > 0 (hier geht x > −1 ein; f¨ ur x < −1 w¨ urde sich das >-Zeichen umdrehen): (1 + x)n > 1 + nx ⇐⇒ (1 + x)n+1 > (1 + nx) · (1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx2 , und wegen nx2 > 0 gilt f¨ ur den letzten Ausdruck 1 + (n + 1)x + nx2 > 1 + (n + 1)x. Aus a > b > c folgt automatisch a > c, also haben wir insgesamt (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x, was wir zeigen wollten. Und wieder greift die Induktionsschleife und liefert die G¨ ultigkeit der Ungleichung f¨ ur jedes n ∈ N mit n 2.

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by Mark
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