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By Prof. Dr. Wolfgang Walter (auth.)

ISBN-10: 3540076093

ISBN-13: 9783540076094

ISBN-10: 364296317X

ISBN-13: 9783642963179

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1st remer 9 oj: 0 in J, so ist x oj: 0 in J, d. h. die Kurve (9) gestattet eine explizite Darstellung y = rjJ(x) mit stetig differenzierbarem rjJ. DaB rjJ tatslichlieh eine Losung ist, folgt dann aus der zweiten Zeile von (9), wenn man beaehtet, daB rjJ(x(P») = y(P) ist Man kann unter den gemachten Voraussetzungen weiter beweisen. daB damit aile Losungen der Clairaut-Differentialgleichung gefunden sind, d. , daB jede Losung entweder die aus (9) gewonnene Funktion rjJ oder eine der Geraden (10) oder eine aus rjJ und Geradenstiieken von (10) zusammengesetzte Funktion ist.

Dabei ist es sinnvoll (3) l+hl>O vorauszusetzen (ist namlich g == h == 0 in einem Gebiet D, so ist jede in D verlaufende Kurve x = x(t), y = y(t) Losung von (2»). Ferner wird von einer Losung verlangt, daB x(t), y(t) stetig differenzierbar und ~OO+~OO>O ~ ist, d. h. daB ein "glattes Kurvenstiick" vorliegt. Auch diese Voraussetzung ist natiirlich. Sie schlieBt z. B. Losungen der Form x(t) = const, y(t) = const aus. Ferner wird durch sie garantiert, daB die Kurve lokal (d. h. in einer Umgebung eines jeden Kurvenpunktes) explizit in der Form y = I/J(x) oder x = 1p(y) mit I/J bzw.

C)~ so wird k = 1- e-(b-a) (Ubungsaufgabe I). (d) Wir betrachten das Funktional Tx= Ilxll von E nach \R( =F). Aus der Gleichung (2) folgt unmittelbar, daB eine Lipschitzbedingung mit k = 1 besteht: Die Norm in E ist ein stetiges Funktional; es geniigt sogar einer Lipschitzbedingung mit der Lipschitzkonstante 1. VIII. Iterationsverfahren in Banach-Riiumen. Viele Existenzprobleme der Analysis - dazu gehoren, wie wir sehen werden, auch Existenzprobleme bei gewohnlichen DifTerentialgleichungen - lassen sich in einem geeigneten Banach-Raum B in Form einer Gleichung x=Tx (4) schreiben.

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Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung by Prof. Dr. Wolfgang Walter (auth.)


by Christopher
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