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By Dietrich Morgenstern

ISBN-10: 3642999360

ISBN-13: 9783642999369

ISBN-10: 3642999379

ISBN-13: 9783642999376

Three vielen Gesichtspunkten, unter denen das zugehorige statistische challenge behandelt werden kann, solche, bei denen die Losung nach einer anderen Regel gefunden wird. Oft besteht die statistische Aufgabe auch darin, zu prufen ("testen"), ob das vorgeschlagene wahrscheinlichkeitstheo retische Modell brauchbar ist. Hat guy weitere Kenntnisse uber die Auswirkungen der Antworten statistischer Fragen, etwa in shape von Gewinn und VerlustgroBen, so kann guy mittels allgemeiner Prinzipien, z. B. dem Mini-Max-Prinzip, systematisch Methoden zur Beantwortung statischer Fragen entwickeln: "Entscheidungstheorie," hier an mehreren Stellen als "hohere Gesichts punkte" dargestellt. Von vielen Autoren wird ein Teil der Urwahrscheinlichkeiten als "subjektives Wissen," "Vorherbewertung" oder anders bezeichnet; dies soll die Ubertragbarkeit der Ergebnisse auf andere Fiille ein .schranken; fur die mathematische Betrachtung ist dies unerheblich, da die formale Behandlung dieselbe ist. Philosophisch interessierte Leser seien darauf hingewiesen, daB guy jegliches Erfahrungsammeln, auch das Denken selbst, als einen ProzeB unvollstandiger Induktion bezeichnen konnte, bei dem wir die Sicher heit der Aussagen zu vergroBern suchen; letztlich konnte additionally alles Denken als Statistik bezeichnet werden. 1m ersten Kapitel wird der einfachste Fall wahrscheinlichkeits theoretischer Modelle, der Munzenwurf, behandelt und das zugehorige statistische challenge diskutiert; der weitere Aufbau beschrankt sich im ersten Teil auf die mathematisch besonders einfachen diskreten Wahrscheinlichkeiten, wahrend im zweiten Teil dann zufallige GroBen mit Verteilungsdichten zugelassen werden. Der Anhang behandelt die an vielen Stellen der Wahrscheinlichkeits theorie, der eigentlichen Statistik und bei der "Linearen Optimierung" auftretenden Extremwertaufgaben mit Ungleichungen als Neben bedingungen.

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6) bei n -+ 00 und gleichmaBig fur v mit Iv - n PI < -y;t" . const. 7) pqn gilt. Bemerkenswert ist der Ausdruck fUr das maximale Glied bei q = t; es ergibt sich mit n = 2m zunachst P= ( 2m) 1 m 2 2m 1 """ Vn m oder nach kurzer Umformung die WALLIssche Produktdarstellung V;:=lim2. ~ ... m ...... oo 1 j 5 2m-2 2m 2m - 3 2m - 1 _1_. 6) wichtig: Wegen der GleichmaBigkeit der Konvergenz folgt zunachst lim P(Vn P q Zl n ...... oo < Sn - n P < Vn P q Z2) . -np ZI <--=-

6. Unter Benutzung der Rekursionsformel fur die hypergeometrische (I' - v) (k - v) Verteilung P... 1 = (v + 1) (s - k + v-i) P. berechne man die Wahrscheinlichkeiten fur Gewinne im ersten, zweiten, ... Rang beim Lotto mit n = 49, r = k = 6. 7. 4 gegebenen Beziehung beweise man wahrscheinlichkeitstheoretisch die Gleichung ±(r+: -1 • -0 )pr q" = 'il (I' + 1 ) pI-' qr+l-I-' . 1-'-' # 8. Man zeige, daB die PASCAL-Verteilung bei r -+ 00, q r = A = fest in die POIssON-Verteilung ubergeht. Wie hangt dies Ergebnis mit dem Gesetz der seltenen Ereignisse zusammen?

P. Es solI die Wartezeit bis zum ersten Eintreten eines der A untersucht werden. Dazu setzen wir die Indikatoren IA • = X v und definieren als Wartezeit R die Anzahl R = 'P, wenn Xl = 0, . X. = 0, X v+ 1 = 1 ('P = 0, ... , n - 1) bzw. R = n, wenn aUe Xv = 0 ('P = 1, ... , n), d. h. wenn man vergeblich gewartet hat. Die Verteilung bestimmt man wegen der Unabhangigkeit der A. sofort. P(R='P)=q'P ('P=O, ... ,n-1). P(R = n) = qn. -0 1-qz P(z)=~q"pzv+qnzn=p 1-(qz" P + qn+l(z" _ zn+l) 1 1 - Pqz + (qz)n qz + Glieder in zn und hOhere Potenzen.

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by Christopher
4.3

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