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By Ernst Kunz

ISBN-10: 3322803139

ISBN-13: 9783322803139

ISBN-10: 3528072873

ISBN-13: 9783528072872

Professor Ernst Kunz ist Professor für Mathematik an der Universität Regensburg.

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AnXn = ° (ao, ... ,an) i (0, ... ,0) Unbestimmten beschrieben werden. Daher ist P (W) = {(xo, ... ,xn)1 z= aixi = o} n i=O Man nennt (1) eine definierende Gleichung der Hyperebene. Sie ist durch die Hyperebene bis auf einen Faktor A E L* eindeutig bestimmt. Gibt es eine Gleichung (1) mit Koeffizienten ai aus einem Teilkorper K von L, so sagt man, die Hyperebene sei tiber K definiert. Da jeder Untervektorraum W C Ln+l die Losungsmenge eines homogenen linearen G leichungssystems (i=l, ... ,m) (2) ist, kannjeder projektive Unterraum von P L als Losungsmenge eines solchen Systems beschrieben werden, wobei man bei einem d-dimensionalen Unterraum immer mit n - d Gleichungen auskommen kann.

Der Koordinatenring einer affinen algebraischen Varietat In § 3 wurde gezeigt, dafi eine eineindeutige Beziehung zwischen den K - Varietaten in A Lund gewissen Idealen des Polynomrings K[X I , ... , Xn] besteht. 5 analoge Beziehung zwischen den Untervarietaten von V und der Idealtheorie von K[V]. J(V) C K[XI' ... ,Xnl das Verschwindungsideal von V. DEFINITION. Die K -Algebra heiBt der Koordinatenring oder die affine Algebra der Varietiit V. J(V) = (0) und K[V] = K[Xl, ... ,Xn ]. Fur V = 0 ist K[V] der Nullring.

An) i (0, ... ,0) Unbestimmten beschrieben werden. Daher ist P (W) = {(xo, ... ,xn)1 z= aixi = o} n i=O Man nennt (1) eine definierende Gleichung der Hyperebene. Sie ist durch die Hyperebene bis auf einen Faktor A E L* eindeutig bestimmt. Gibt es eine Gleichung (1) mit Koeffizienten ai aus einem Teilkorper K von L, so sagt man, die Hyperebene sei tiber K definiert. Da jeder Untervektorraum W C Ln+l die Losungsmenge eines homogenen linearen G leichungssystems (i=l, ... ,m) (2) ist, kannjeder projektive Unterraum von P L als Losungsmenge eines solchen Systems beschrieben werden, wobei man bei einem d-dimensionalen Unterraum immer mit n - d Gleichungen auskommen kann.

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