Differentialgeometrie: Kurven — Flächen — Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Kühnel PDF

By Wolfgang Kühnel

ISBN-10: 3322934225

ISBN-13: 9783322934222

ISBN-10: 3834800236

ISBN-13: 9783834800237

Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was once durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. Im Laufe der Neuauflagen wurde der textual content erweitert, neue Aufgaben wurden hinzugefügt und am Ende des Buches wurden zusätzliche Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Der textual content wurde für die fünfte Auflage gründlich durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.

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FORSTER, Analysis 3, §20. h. für ein einzelnes parametrisiertes Flächenstück, existiert trivialerweise stets eine Orientierung durch Wahl einer Reihenfolge der Koordinaten. Für ein Flächenstück j: U -+ IR 3 kann somit die Wahl einer Orientierung auch ausgedrückt werden durch die Wahl einer Reihenfolge von 8j 8j als begleitendes (nicht-orthonormales) 2-Bein von Tangentialvektoren. Eine Parametertransformation mit positiver Funktionaldeterminante würde dann im allgemeinen nicht dieses Bein, wohl aber stets dessen Orientierung erhalten.

In diesem Sinne ist dann auch die inverse Abbildung (D Tangentialebene Tuf erklärt und ist ebenfalls ein Isomorphismus. Iu als f1J- 1 auf der (ii) Die Abbildung L:= -Dvo (Df)-l, die punktweise durch erklärt ist, heißt Weingartenabbildung oder Form-Operator von f. Für jeden Parameter u ist dies ein linearer Endomorphismus der Tangentialebene im zu8 gehörigen Punkt f (u). EL ) oder kurz 8 U . 1 U U -~ f· . h. bis aufs Vorzeichen) und selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform I. BEWEIS: (i) folgt einfach aus 0 = 8~i(V,V) = 2(g::i'V).

Dies schließt aber Selbstdurchdringungen aus. 1 verschieben. Eine Fläche im Großen wird dann definiert als eine Immersion einer 2-Mannigfaltigkeit in den 1R 3 . BEISPIEL: f( u, v) Der Rotationstorus ist als Flächenstück definiert durch = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u), 0 < u, v < 21f, 0 < b < a. Wegen der Periodizität von sin und cos schließt er sich nach einer Periode von 21f in jeder Koordinatenrichtung, wenn man über das Intervall u, v E (0,21f) hinausgeht. Es entsteht dann die Torusfiäche global als eine Untermannigfaltigkeit, vgl.

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by Steven
4.3

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