New PDF release: Die Konfluente Hypergeometrische Funktion: Mit Besonderer

By Herbert Buchholz

ISBN-10: 3642533310

ISBN-13: 9783642533310

ISBN-10: 364253371X

ISBN-13: 9783642533716

Das vorliegende Buch behandelt die unter dem Namen der konflu­ enten hypergeometrischen Funktion bekannte höhere transzendente Funktion, der in den physikalischen und technischen Anwendungen der Mathematik eine besonders in den letzten beiden Jahrzehnten ständig steigende Bedeutung zukommt. Es steht außer Zweifel, daß sich diese Tendenz in der Zukunft noch wesentlich verstärken wird, und so wie zunächst die Zylinderfunktionen nur von einigen Wenigen zuverlässig gehandhabt werden konnten, bis sie heute selbst schon dem rechnenden Ingenieur vertraut geworden sind, so wird auch die Theorie der all­ gemeineren konfluenten hypergeometrischen Funktion sehr bald einem immer größeren Kreis von Physikern geläufig sein. In diese Entwick­ lung soll das vorliegende Buch fördernd eingreifen. Die große praktische Bedeutung der hier behandelten Funktion bedarf schon deswegen kaum einer eingehenden Begründung, weil sie einmal eine große Zahl einfacherer spezieller Funktionen, die schon seit langem zum täglichen Werkzeug des Physikers gehören, als Sonderfälle umfaßt. Es genügt, an dieser Stelle zu erwähnen, daß dazu u. a. der Integrallogarithmus, der Integralsinus und -cosinus, das Fehlerintegral, die Fresnelschen Integrale, die Zylinderfunktionen und endlich die Funktionen des parabolischen Zylinders gehören. Es hat additionally derjenige, der sich die Mühe macht, die konfluente hypergeometrische Funktion eingehender zu studieren, den nicht hoch genug einzuschätzenden Vorteil, daß ihm die Theorie dieser Funktion die Eigenschaften der aus ihr ableit­ baren Funktionen sozusagen von einer höheren Warte aus zu über­ blicken gestattet.

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GI. von höherer als der 2. Ordnung. Genügen nach einem bei G. N. Watson [2] zu findenden Hinweis v (z) und w (z) den beiden D. GI. v" + I (z) v = so genügt die Funktion y d {Y'" 7; = 0 und w" + ] (z) w = 0, v (z) . w (z) der D. GI. + 2 (I + J)I-J y' + (I' + j') Yl J=--(I--J)Y. GI. 4. Ordnung (16') (IV)+l. _2 1 -,u2) '+2(2r 2+l---: t l:) =0 y zy " Z2! Y z Z3 Y Z2 Zi Y 37 § 3. Verwandte Differentialgleichungen. JtiT ,Il/2(- i z) . Jt- iT ,Il/2(- i z) dar. Weitere Teillösungen können leicht angegeben werden, wenn man beachtet, daß in (16') fl und T nur im Quadrat vorkommen und auch ein Vorzeichenwechsel von z die D.

Wird schließlich in (3b) ß = - 1/2, IX;. Gl. y" (z) - B z . z•• P"'1'/2(A z2). Gl. y" (z) + a 1 Z • y' (z) + {a oz2 + bo} . (a1 /2)2 - a0 ) (10 a) Die bekannte Schrödinger-Gleichung (11) 35 § 3. Verwandte Differentialgleichungen. für den harmonischen Oszillator hat demnach die beiden Lösungen: __ -1/2 YI,2 (Z) - Z II ± 1/4 • '/'~k'/4l, (' IIZ 2) (Ha) • Sollen sie den Charakter von Polynomlösungen haben, so muß nach GI. (§ 2, 10) im Falle des oberen Vorzeichens in (Ha, b) k2/2A = 2n + 3/2 und im Falle des unteren Vorzeichens k 2 /2A= 2n + 1/2 sein mit n = 0, 1, 2, ...

1 aufgeschnitten zu denken. Das erste und vierte der Integrale von (12) gehen dann mit t an Stelle von u in die folgenden beiden anderen über: + °... f . +O(n+_ 1'-1 -+" e2z/(Hv). (v- 1) . :~ ~~~~~ ~:;: (v ; t = 2 +1)1'+1 2/(1 . dv + v) ] . In (12a) gehören nur die gleich angeordneten Vorzeichen zusammen. Zu Beginn des Weges ist dabei durchweg! Arc (t - 1) oder Arc (s-l) =-n. Die Gleichwertigkeit z. B. der ersten Form von (12a) mit der ersten Form von (12) möge als Musterbeispiel für derartige Integralumformungen hier eingehender begründet werden, da ähnliche Umformungen späterhin noch häufig vorkommen werden.

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Die Konfluente Hypergeometrische Funktion: Mit Besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung by Herbert Buchholz


by William
4.4

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