Algorithmen und rekursive Funktionen - download pdf or read online

By A. I. Malcev (auth.)

ISBN-10: 332285356X

ISBN-13: 9783322853561

ISBN-10: 3528083271

ISBN-13: 9783528083274

Noch in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts erweckten die mathematische Logik und die damals entstehende Algorithmentheorie den Anschein besonders abstrakter und von praktischen Anwendungen besonders weit entfernter mathe­ matischer Disziplinen. Heute hat sich die scenario radikal verändert. Es ist jetzt allgemein anerkannt, daß die beiden genannten Disziplinen eine theoretische Grundlage für Aufbau und Anwendungen schnell arbeitender Rechen-und Steu­ erungssysteme schaffen. Das relative Gewicht der mathematischen Logik und der Algorithmentheorie wuchs auch in der Mathematik selbst stark an. Darüber hinaus dringen gegenwärtig in beträchtlichem Maße durch die Algorithmentheorie und die mathematische Logik mathematische Methoden in die Biologie, die Lin­ guistik, die Wirtschaftswissenschaften und sogar Philosophie der Naturwissen­ schaften ein. All dies hat dazu geführt, daß die mathematische Logik und die Algorithmentheorie angefangen haben, in die Lehrpläne unserer Universitäten und pädagogischen Hochschulen als für das Studium der Mathematikstudenten aller Fachrichtungen obligatorische Disziplin einzudringen. Das vorliegende Buch ist aus der Bearbeitung von Nachschriften von Vorlesun­ gen über mathematische Logik, Algorithmentheorie und deren Anwendungen ent­ standen, die der Verfasser in den Jahren 1956-1959 an der pädagogischen Hoch­ schule von lvanovsk und seit dem Jahr 1960 an der Universität Novosibirsk gehalten hat. In ihm wird nur die allgemeine Theorie der Algorithmen und der rekursiven Funktionen entwickelt. Ganz außerhalb des Rahmens des Buches blieben die Komplexe car· matentheorie, Anwendungen der Algorithmentheorie auf formale Theorien und Theorie der Unlösbarkeitsgrade. Eine irgendwie ausführliche Darstellung dieser Disziplinen zum gegenwärtigen Zeitpunkt bedarf besonderer Einzeldar­ stellungen.

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Ist eine n-stelligeFunletion g (bezüglich 6) primitiv rekursiv, so ist auch die durch das Schema i;11 g(:xt> •••, Xn-t> i), falls y ~ z; I(:x1, ... , Xn-1> y, z) = {•= (1} ,fallsy>z 0 definierten+ 1-stellige Funktion f (bezüglich 6) primitiv rekursiv. :... :... z). :... primitiv rekursiv ist, ist somit nach Theorem 1 auch f primitiv rekursiv. Man sagt manchmal, daß die in Theorem 1 definierte Funktion f aus der Funktion g durch die Operation der Summation entsteht. Theorem 1 bedeutet, daß die Anwendung der Operation der Summation auf eine primitiv rekursive Funktion wieder eine primitiv rekursive Funktion ergibt.

Die charakteristische Funktion der leeren Menge zum Beispiel ist die Funktion, die für jeden beliebigen Wert des Arguments 1 ist, und die partielle charakteristische Funktion der leeren Menge ist die nirgends definierte Funktion. Es ist überhaupt leicht zu verstehen, daß die charakteristischen und die partiellen charakteristischen Funktionen nur für die Menge aller natürlichen Zahlen übereinstimmen. Eine Menge natürlicher Zahlen heißt primitiv rekursiv, wenn ihre charakteristische Funktion primitiv rekursiv ist, Eine Menge A heißt partiell rekursiv, wenn ihre partielle charakteristische Funktion partiell rekursiv ist.

N;) gefunden. Dann ist klar, daß die Funktion I der Wert des Operatorterms sn•+l (I;, c1, ••• , Cn,) ist. Es seien zum Beispiel die üblichen Funktionen + und X gegeben. Die Funktion von x1, x 2, x 3 mit der Termdarstellung x1 • x 2 + x 3 ist Wert des Operatorterms 83(+. ss(x, Il3, I23), IsS). 2. Operator der primitiven Rekursion. Es seien irgendwelche partiellen zahlentheoretischen Funktionen gegeben: eine n-stellige Funktion g und eine n + 2stellige Funktion h. •. , Xn, 0) = g(xh ••. , Xn), haben.

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