New PDF release: Algebraische Geometrie [Lecture notes]

By Scheithauer

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Also  .  = λ  .  f¨ ur ein λ = 0. Entsprechend y0 ... yn = xm xm n Das Bild Σm,n = smn Pm K × PK 1 λ y0 ... yn . (n+1)(m+1)−1 ist eine projektive Variet¨at in PK . 24. , zmj ) irgendeine Spalte = 0 ist, ist ein wohldefinierter Morphismus. Analog liefern die Zeilen = 0 einen Morphismus π2 : Σm,n → PnK . Beweis. Die Spalten = 0 sind proportional, also ist die Abbildung wohldefiniert. 25. Sei X ⊂ Σm,n abgeschlossen. Dann wird s−1 m,n (X) beschrieben durch Gleichungen gk (: x0 : ... : xm :, : y0 : ...

F heißt regul¨ar in P ∈ V , wenn es eine Darstellung f = g/h mit h(P ) = 0 gibt. Die Menge der regul¨aren Punkte wird als Definitionsbereich dom(f ) von f bezeichnet. Wie im affinen Fall zeigt man, dass dom(f ) eine offene Teilmenge von V ist. Der lokale Ring von V in P ist definiert als OV,P = {f ∈ K(V )|f regul¨ar in P }. Die Menge mV,P = {f ∈ OV,P |f (P ) = 0} ist ein maximales Ideal in OV,P und wird als maximales Ideal von V in P bezeichnet. mV,P ist das eindeutige maximale Ideal in OV,P . ∪Vn die affine Uberdeckung.

1) ⇒ (2)“ In diesem Fall ist f dominant und es gibt eine rationale Abbildung ” g : W − → V mit g ◦ f = idV und f ◦ g = idW . Die Abbildung f ∗ : K(W ) → K(V ) h → h ◦ f ist ein wohldefinierter Algebrenhomomorphismus mit Inverser g ∗ : K(V ) → K(W ) h → h ◦ g. (2) ⇒ (1)“ Sei ϕ : K(V ) → K(W ) die Inverse von f ∗ . Dann gibt es eine dominante, ” rationale Abbildung g : W − → V mit g ∗ = ϕ. Diese Abbildung erf¨ ullt f ◦ g = idW und g ◦ f = idV . Die Existenz und Eindeutigkeit von g ist klar, wenn V, W affin sind.

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by Brian
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